课件内容：
二次型
1.正确理解二次形和非退化线性替换的概念；掌握二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系；掌握矩阵的合同概念及性质。2.理解二次型的标准形，掌握化二次型为标准形的方法（主要是配方法、初等变换法）。3.正确理解复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性；掌握惯性定理。4.正确理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等概念；熟练掌握正定二次型及半正定二次型的等价条件。
1.二次型的矩阵表示
2.标准形
3.唯一性
4.正定二次型
线性空间
1.掌握映射、单射、满射（映上的映射）、一一映射、逆映射等概念。2.正确理解和掌握线性空间的定义及性质；会判断一个代数系统是否是线性空间。3.理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念；正确理解和掌握n维线性空间的概念及性质。4.正确理解和掌握基变换与坐标变换的关系。5.正确理解线性子空间的定义及判别定理；掌握向量组生成子空间的定义及等价条件。6.掌握子空间的交与和的定义及性质；熟练掌握维数公式。7.深刻理解子空间的直和的概念及和为直和的充要条件。8.理解和掌握线性空间同构的定义、性质及两个有限维空间同构的充要条件。
1.集合·映射
2.线性空间的定义与简单性质
3.维数·基与坐标
4.基变换与坐标变换
5.线性子空间
6.子空间的交与和性子空间
7.子空间的直和
8.线性空间的同构
线性变换
1.理解和掌握线性变换的定义及性质。2.掌握线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。3.深刻理解和掌握线性变换与矩阵的联系；掌握矩阵相似的概念和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。4.理解和掌握矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念和性质；会求一个矩阵的特征值和特征向量；掌握相似矩阵与它们的特征多项式的关系及哈密尔顿-凯莱定理。5.掌握n 维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件。6.掌握线性变换的值域、核、秩、零度等概念；深刻理解和掌握线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。7.掌握不变子空间的定义；会判定一个子空间是否是σ-子空间；深刻理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系；掌握将空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式。8.掌握标准形的定义。9.正确理解最小多项式的概念；掌握一个矩阵相似于一个对角阵与它的最小多项式的关系。
1.线性变换的定义
2.线性变换的运算
3.线性变换的矩阵
4.特征值与特征向量
5.对角矩阵
6.线性变换的值域与核
7.不变子空间
8.若当标准形介绍
9.最小多项式
λ-矩阵
1.理解λ-矩阵的秩的概念。2.理解和掌握λ-矩阵的等价标准形的概念和求法。3.理解行列式因子及不变因子的定义 掌握两λ-矩阵等价的充分必要条件。4.理解矩阵相似的充要条件。5.理解矩阵的初等因子的定义。6.会求复矩阵的相似若当标准形。
1.λ-矩阵
2.λ-矩阵在初等变换下的标准形
3.不变因子
4.矩阵相似的条件
5.初等因子
欧氏空间
1.深刻理解欧氏空间的定义及性质；掌握向量的长度，两个向量的夹角、正交及度量矩阵等概念和基本性质，使学生掌握各种概念之间的联系和区别。2.正确理解正交向量组、标准正交基的概念，掌握施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。 3.深刻理解两个欧氏空间同构的定义。掌握两个欧氏空间同构的意义及同构与空间维数之间的关系。4.正确理解和掌握正交变换的概念及几个等价关系，让学生掌握正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。5.正确理解和掌握两个子空间正交的概念，掌握正交与直和的关系，及欧氏空间中的每一个子空间都有唯一的正交补的性质。6.深刻理解并掌握任一个对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并掌握求正交阵的方法。能用正交变换化实二次型为标准形。
1.定义与基本概念
2.标准正交基
3.同构
4.正交变换
5.子空间
6.对称矩阵的标准形
7.向量到子空间的距离、最小二乘法
8.酉空间介绍
《高等代数》PPT课件 信阳师范大学 韩英波
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