《微分几何》PPT课件 陈航 西北工业大学

 
课件内容： 
欧氏空间 
理解向量空间和3维欧氏空间的概念，熟练运用向量分析中的内积、外积、混合积，梯度、旋度、散度运算性质；理解并掌握3维欧氏空间中的正交标架与合同变换。本章属于准备知识，是后面学习的基础。 
1-1-1-代数角度看欧氏空间的向量及其运算 
1-1-2-三维欧氏空间中关于向量运算的恒等式 
1-1-3-向量分析的基本运算性质和场论基本公式 
1-2-1-几何角度看欧氏空间的向量及其运算 
1-2-2-坐标与坐标变换 
1-2-3-合同变换及其刻画I 
1-2-4-合同变换及其刻画II 
曲线的局部理论 
掌握平面或空间曲线的定义，熟练掌握弧长参数、曲率、挠率等概念；能熟练计算参数曲线的长度、曲率、挠率等几何量；理解曲线的运动方程及Frenet标架；了解曲线论基本定理，并牢记常见曲线的例子及性质，如直线、圆周、圆柱螺线等。 
2-1-1-曲线的定义和例子 
2-2-1-平面曲线的 Frenet 公式及常曲率平面曲线的局部分类 
2-2-2-从高斯映照看平面曲线的曲率和一道计算例题 
2-3-1-空间曲线的 Frenet 标架 
2-3-2-标架的运动方程及曲率和挠率 
2-3-3-挠率为0的空间曲线 
2-3-4-圆柱螺线的曲率和挠率 
2-3-5-渐进展开与局部近似 
2-4-1-曲线的再参数化和弧长参数的唯一性 
2-4-2-弧长参数曲率挠率在刚体运动下不变 
2-4-3-曲线论基本定理的证明之唯一性 
2-4-4-曲线论基本定理的证明之存在性 
2-4-5-常曲率挠率曲线的局部分类 
曲面的局部理论 
掌握曲面的定义；能熟练计算参数曲面的第一基本形式与第二基本形式、法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率等几何量；理解Weingarten变换的几何意义；掌握某些类型的曲面的例子、分类及性质，如旋转曲面、直纹面、可展曲面、全脐点曲面等。 
3-1-1-正则曲面的定义 
3-1-2-曲面的局部坐标及参数变换 
3-1-3-1-曲面参数化例子1：局部图和等值面 
3-1-3-2-曲面参数化例子2：旋转曲面 
3-1-3-3-曲面参数化例子3：球面的球极投影 
3-1-4-曲面的切平面和法线 
3-1-5-等值面的切平面和法线 
3-1-6-切平面和法线与参数选取无关 
3-2-1-第一基本形式的引入和定义 
3-2-2-第一基本形式与参数选取无关 
3-2-3-计算第一基本形式之两个例子 
3-3-1-第二基本形式的引入和定义 
3-3-2-计算第二基本形式之两个例子 
3-3-3-第二基本形式与参数选取无关 
3-3-4-第一第二基本形式在合同变换下不变 
3-3-5-第二基本形式与曲面形状 
3-3-6-小结和附注 
3-4-1-曲面上曲线曲率的分解与法曲率的定义 
3-4-2-法曲率的定义（续） 
3-4-3-法曲率的几何直观和不变性质 
3-4-4-法曲率的计算例子之平面球面圆柱面 
3-4-5-法曲率计算之二次曲面法曲率与曲面局部形状 
3-5-1-法向量的变化率和Weingarten变换的定义 
3-5-2-Weingarten变换不依赖于同向参数的选取 
3-5-3-Weingarten变换与法曲率的关系 
3-5-4-Weingarten变换是自共轭变换 
3-5-5-主曲率高斯曲率和平均曲率的定义 
3-5-6-主曲率是主方向的法曲率和曲面相关计算步骤小结 
3-5-7-主曲率与法曲率的关系之Euler公式 
3-5-8-高斯映照与高斯曲率 
3-5-9-曲面的二阶近似和脐点的定义及分类 
3-6-1-全脐点曲面的定义及其局部分类 
3-6-2-直纹面的定义和例子直纹面高斯曲率非正 
3-6-3-可展曲面的定义和例子直纹面可展的充要条件 
3-6-4-可展曲面的分类 
3-6-5-旋转面的基本形式和曲率的计算 
3-6-6-常高斯曲率的旋转面 
3-6-7-常平均曲率的旋转面 
标架和曲面论基本定理 
理解自然标架与正交活动标架，会计算自然标架的运动方程；理解并掌握曲面的结构方程（Gauss-Codazzi方程）特别是正交参数网下的结构方程表达式；掌握曲面论基本定理的内容；了解外微分法推导曲面的结构方程。 
4-1-1-自然标架的运动方程和Christoffel符号 
4-2-1-自然标架下的结构方程和Codazzi方程的独立个数 
4-2-2-黎曼曲率张量记号的引入和高斯方程的化简 
4-2-3-黎曼曲率张量的基本对称性质 
4-2-4-高斯方程的独立个数和高斯绝妙定理 
4-3-1-曲面论基本定理之唯一性 
4-3-2-曲面论基本定理之存在性 
4-4-1-标架场的概念和选取 
4-4-2-正交活动标架之曲线Frenet标架再审视 
4-4-3-曲面上正交活动标架的存在性 
4-4-4-曲面上正交活动标架的运动方程及正交活动标架下的基本形式 
4-4-5-曲面的第一第二基本形式不依赖于正交标架的选取 
4-4-6-正交标架下 Weingarten 变换的矩阵表示 
4-5-1-微分形式及其外积 
4-5-2-外微分运算 
4-5-3-正交标架下曲面的面积元 
4-5-4-关于微分形式的思考题与维数的补充说明 
4-5-5-从正交标架的运动方程推导曲面的结构方程 
4-5-6-正交标架下曲面结构方程的进一步分析 
4-5-7-推导正交参数网下的 Gauss-Codazzi 方程 
4-5-8-三维欧氏空间中常主曲率曲面的局部分类 
4-5-9-三维欧氏空间中无脐点的平坦曲面必可展 
4-6-1-欧氏空间正交标架运动方程和欧氏空间的结构方程 
4-6-2-运动方程与结构方程之从三维欧氏空间到曲面 
4-6-3-再看几何量与标架的选取无关 
4-6-4-联络形式和曲率形式随标架的变化规律 
4-6-5-第四章的总结与复习 
曲面的内蕴几何学 
理解曲面的等距变换，掌握协变微分的概念；会计算测地曲率；熟悉测地线及其性质，理解并掌握Gauss-Bonnet公式及其应用。 
5-1-1-内蕴几何引言和曲面之间的映射 
5-1-2-切映射的定义和性质 
5-1-3-等距变换的定义 
5-1-4-关于等距变换的一些注记 
5-1-5-等距变换和第一基本形式及正螺面和悬链面的等距 
5-1-6-函数和微分形式的拉回 
5-1-7-从拉回看等距变换 
5-1-8-共形变换的定义和例子 
5-1-9-从拉回看共形变换及曲面的等温坐标 
5-2-1-联络形式的性质及高斯绝妙定理的推论和应用 
5-2-2-等温坐标下高斯曲率的计算 
5-2-3-协变导数与协变微分的定义和性质 
5-2-4-曲面上平行移动的定义存在唯一性及其性质 
5-3-1-测地曲率的定义 
5-3-2-测地曲率的计算之 Liouville 定理 
5-3-3-测地线的定义及局部存在性 
5-3-4-测地线的判定及某些特殊曲面上的测地线 
5-3-5-测地线作为长度泛函的临界点 
5-4-1-指数映射的定义 
5-4-2-法坐标系和测地极坐标系的定义 
5-4-3-法坐标和测地极坐标的正则性 
5-4-4-法坐标系的性质 
5-4-5-测地极坐标系的性质 
5-4-6-测地线的局部最短性 
5-4-7-常高斯曲率曲面的局部分类 
5-5-1-局部 Gauss-Bonnet 定理的叙述和应用 
5-5-2-局部 Gauss-Bonnet 定理的证明概要 
5-5-3-整体 Gauss-Bonnet 定理的介绍