《线性代数及其应用》PPT课件 张颖 天津大学

 
课件内容： 
矩阵及其初等变换；线性方程组 
1．了解数域的概念，理解n元向量的概念及其表示，掌握向量的线性运算；2．理解矩阵的概念，了解几种特殊矩阵（单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵，零矩阵，行、列矩 阵）；掌握矩阵的转置运算；3. 掌握矩阵的三类初等变换，会熟练使用矩阵的初等变换；4. 掌握求解线性方程组解的矩阵消元法和有解判定定理。 
1.1 数域及n元向量 
1.2.1 矩阵的定义及特殊矩阵 
1.2.2 矩阵的初等变换 
1.3.1 矩阵消元法 
1.3.2 线性方程组有解判别定理（1） 
1.3.3 线性方程组有解判别定理（2） 
行列式 
1．了解行列式的概念，理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念；2．掌握行列式的性质，按行、列展开定理，会用三角化、降阶等典型方法计算行列式。 
2.1排列与逆序数 
2.2行列式的定义 
2.3.1行列式的性质（一） 
2.3.2行列式的性质（二） 
2.4行列式的展开 
2.5.1行列式的计算（一） 
2.5.2行列式的计算（二） 
克拉默法则；矩阵的运算 
1.掌握Gramer法则；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、多项式以及它们的运算规律和运算关系；3. 了解对称阵、反对称阵的概念及其性质，了解方阵的迹和行列式及其运算性质。 
2.6 克拉默法则 
3.1.1 矩阵的运算（一）（1） 
3.1.2 矩阵的运算（一）（2） 
3.1.3 矩阵的运算（二）（1） 
3.1.4 矩阵的运算（二）（2） 
3.1.5 矩阵的运算（三）（1） 
3.1.6 矩阵的运算（三）（2） 
3.1.7 矩阵的运算（三）（3） 
初等矩阵；可逆矩阵及矩阵方程 
1.了解初等矩阵的概念，掌握初等矩阵的性质，理解初等矩阵与初等变换的关系；2．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质和计算方法，掌握判定矩阵可逆的充要和充分条件；3. 理 解伴随矩阵的概念，掌握伴随矩阵的性质。4. 会求解典型的矩阵方程. 
3.2 初等矩阵 
3.3.1 可逆矩阵的定义及判定条件（1） 
3.3.2 可逆矩阵的定义及判定条件（2） 
3.3.3 逆矩阵的运算性质及计算（1）初等矩阵；可逆矩阵及矩阵方程 
3.3.4 逆矩阵的运算性质及计算（2） 
3.3.5 逆矩阵的应用及简单矩阵方程（1） 
3.3.6 逆矩阵的应用及简单矩阵方程（2） 
分块矩阵；分块乘法技巧的应用；矩阵的秩；矩阵的相抵 
1．了解分块矩阵，掌握分块阵的线性运算、乘法和转置运算，会运用分块乘法技巧。掌握准对角矩 阵的运算。2．理解矩阵相抵（等价）、矩阵的秩的概念，会用初等变换法求矩阵的秩，了解满秩矩阵的性质， 了解判定矩阵相抵的充要条件，掌握矩阵秩的运算性质。 
3.4.1 分块矩阵（1） 
3.4.2 分块矩阵（2） 
3.4.3 分块乘法技巧的应用(1) 
3.4.4 分块乘法技巧的应用(2) 
3.5.1 矩阵的秩（1） 
3.5.2 矩阵的秩（2） 
3.5.3 矩阵的相抵（1） 
3.5.4 矩阵的相抵（2） 
n元向量组的线性相关性；向量组的秩；n元向量空间 
1．理解 n 元向量的概念； 2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论； 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩； 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系； 5．了解 n 元向量空间及其子空间、子空间的基和维数等概念。 
4.1.1 n元向量组的线性相关性（1） 
4.1.2 n元向量组的线性相关性（2） 
4.2.1 向量组的秩(1) 
4.2.2 向量组的秩(2) 
4.3 n元向量空间 
线性方程组解的结构；欧氏空间 ；正交矩阵 
1．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件；2．理解齐次线性方程组的基础解系、通解结构及解空间的概念，理解非齐次线性方程组的通解结 构；3．了解向量内积的概念及性质 掌握线性无关向量组标准正交化的方法；4．了解标准正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。 
4.4.1线性方程组解的结构（1） 
4.4.2 线性方程组解的结构（2） 
4.5.1 欧氏空间 R^n（1） 
4.5.2 欧氏空间 R^n（2） 
4.6 正交矩阵 
线性空间的定义和性质；有限维线性空间 
1．了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念，会判定子空间，求子空间的基和维数；2、理解n 维线性空间与n元向量空间的同构关系，会用坐标化方法解决一些典型问题；3．掌握基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握过渡矩阵的性质和计算，会利用坐标变换公式和坐标的定义计算坐标。 
5.1 线性空间的定义和性质 
5.2 基、维数与坐标；同构 
5.3 基变换与坐标变换 
特征值与特征向量的概念、性质和计算；方阵的相似 
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量； 2．了解相似矩阵的概念，掌握相似关系的性质。 
6.1 特征值与特征向量的概念 
6.2 特征值与特征向量的计算 
6.3.1 特征值与特征向量的性质(1) 
6.3.2 特征值与特征向量的性质(2) 
6.4 方阵相似的概念和性质 
矩阵的相似对角化、实对称矩阵的对角化 
1.掌握矩阵可相似对角化的条件和计算;2．了解实对称矩阵的性质，掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。 
6.5.1 方阵的相似对角化(1) 
6.5.2 方阵的相似对角化(2) 
6.6.1 实对称矩阵的对角化(1) 
6.6.2 实对称矩阵的对角化(2) 
线性变换的概念和性质；线性变换的矩阵；二次型及其标准形 
1.掌握线性变换的定义，线性变换矩阵的概念，理解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系并会计算该矩阵；2. 了解二次型的定义及其矩阵表示，了解二次型秩、标准形的概念。 
6.7 线性变换的概念和性质 
6.8.1 线性变换的矩阵(1) 
6.8.2 线性变换的矩阵(2) 
7.1.1 二次型及标准形(1) 
7.1.2 二次型及标准形(2) 
化二次型为标准形、惯性定理、正定性 
1．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，了解用配方法化二次型为标准形的方法； 2. 了解规范形，惯性定理、正、负惯性指数等概念，了解合同变换的概念； 3. 掌握判断实二次型等价和实对称矩阵合同的条件; 4. 掌握二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。 
7.2 化二次型为标准形 
7.3 规范形与惯性定理 
7.4 正定二次型与正定矩阵 
有限维线性空间上的线性算子 
本章是新工科建设背景下代数基础课程教学内容深度改革的探索和实践，阐述了线性代数学习的主要任务，介绍了线性变换的不变子空间、由非零向量生成的循环子空间、对偶变换（线性空间的对偶空间的线性变换）、最小多项式、不变子空间直和分解、标准形（有理标准形、约当标准形） 线性空间的子空间在对偶空间中的正交补，欧氏空间的线性变换及其共轭变换等，本章以不受条条框框的限制的学术境界，用环论等重新演绎线性代数课程，有自身独到见解和讲解，将数学专业要求与工科线性代数教学内容的深度改革进行了很好融合。 
8.1 问题概述 
8.2 循环子空间 
8.3 多项式的唯一分解 
8.4.1 极小多项式（1） 
8.4.2 极小多项式（2） 
8.4.3 极小多项式（3） 
8.5.1 空间的不变子空间直和分解（1） 
8.5.2 空间的不变子空间直和分解（2） 
8.5.3 不可分解空间 
8.6 内积空间上的正规算子 
8.7.1 正规算子的矩阵表示（1） 
8.7.2 正规算子的矩阵表示（2） 
8.7.3 正规算子的矩阵表示（3）